Consigne: Démonstration de la règle des racines de Cauchy

$$\sqrt[n]{u_n}\leqslant q\implies u_n\leqslant q^n$$
\(\longrightarrow\) conclure avec la convergence d'une série géométrique

(Série géométrique (Convergence))

Consigne: Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum\left(\frac{n^2-5n+1}{n^2-4n+2}\right)^{n^2}$$

Initialisation du critère des racines de Cauchy
Si \(u_n=\left(\frac{n^2-5n+1}{n^2-4n+2}\right)^{n^2}\), alors on a : $$\sqrt[n]{u_n}=\left(\frac{n^2-5n+1}{n^2-4n+2}\right)^{n}$$

Limite de la fraction
Or, $$\frac{n^2-5n+1}{n^2-4n+2}=\frac{1-\frac5n+\frac1{n^2}}{1-\frac4n+\frac2{n^2}}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1$$

Réécriture de la fraction sous la forme \(1+\ldots\)
On a : $$\frac{n^2-5n+1}{n^2-4n+2}=1+\left(\frac{n^2-5n+1}{n^2-4n+2}-1\right)=1+\underbrace{\frac{-n-2}{n^2-4n+2}}_{{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0}$$

On a donc : $$\sqrt[n]{u_n}=e^{n\ln(1+\frac{-n-2}{n^2-4n+2})}=e^{n\times\frac{-n-2}{n^2-4n+2}}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} e^{-1}\lt 1$$
La série est donc convergente d'après le critère des racines de Cauchy

(Logarithme népérien - Logarithme naturel (Equivalence), Puissance (Lien entre puissance et exponentielle))

Consigne: Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum\frac{\ln2+\ln 3+\ldots+\ln n}{n^\alpha}$$

Encadrement du numérateur
On a : $$(n-1)\ln 2\leqslant\ln2+\ln 3+\ldots+\ln n\leqslant(n-1)\ln n$$

Soit \(\alpha-1\gt 1\iff\alpha\gt 2\)
Alors $$\frac{(n-1)\ln n}{n^\alpha}\sim\frac{-\ln n}{n^{\alpha-1}}$$

On fixe \(\varepsilon\gt 0\) tel que \(\alpha-1-\varepsilon\gt 1\)
Alors le terme général de la série est équivalent à : $$\frac{\ln n}{n^\varepsilon}\frac1{n^{\alpha-1-\varepsilon}}\leqslant M\frac1{n^{\alpha-1-\varepsilon}}$$
La série est donc convergente

Consigne: Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum\left(\cos\frac1n\right)^{n^3}$$

Initialisation du critère des racines de Cauchy + passage à l'exponentielle
Si \(u_n=\left(\cos\frac1n\right)^{n^3}\), alors $$\sqrt[n]{u_n}=\left(\cos\frac1n\right)^{n^2}=e^{n^2\ln(\cos\frac1n)}$$

Développement limité
Or, $$n^2\ln\left(\cos\frac1n\right)=n^3\ln\left(1-\frac1{2n^2}(1+\varepsilon_n)\right)\sim n^2\frac{-1}{2n^2}=-\frac 12$$

Le terme général de la série tend donc vers \(e^{-1/2}\), qui est inférieur à \(1\)
La série est donc convergente d'après le critère des racines de Cauchy